Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C經(jīng)過(guò)二次函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²+2x-3）與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)．
（1）求⊙C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（2，0），試探究⊙C上是否存在點(diǎn)P滿足PA=$\sqrt{2}$PB，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓的方程，分別令x=0，y=0，求出D、E、F的值，從而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P（x，y）滿足題意，得到關(guān)于x，y的方程組，求出P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）設(shè)所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0 得x²+Dx+F=0，這與x²+2x-3=0是同一個(gè)方程，故D=2，F(xiàn)=-3，…（3分）
令x=0 得y²+Ey=F=0，此方程有一個(gè)根為-3，代入得E=0，…（6分）
所以圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）²+y²=4．…（7分）
（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)P（x，y）滿足題意，
則PA²=2PB²，于是（x+2）²+y²=2（x-2）²+2y²，
化簡(jiǎn)得（x-6）²+y²=32①．…（10分）
又因?yàn)辄c(diǎn)P在⊙C上，故滿足（x+1）²+y²=4②．
①②聯(lián)立解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{7}}{2}$），（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{7}}{2}$）．…（14分）
所以存在點(diǎn)P滿足題意，其坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{7}}{2}$），（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{7}}{2}$）．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道中檔題．