Question

15．已知函數(shù)f（x）=mlnx-$\frac{{x}^{2}}{2}$，f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），對?x∈（0，1），有f′（x）•f′（1-x）≤1恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{3}{4}$]
• B． [0，$\frac{3}{4}$]
• C． [0，1）
• D． [0，1]

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=mlnx-$\frac{{x}^{2}}{2}$，可得f′（x）=$\frac{m}{x}$-x．由于對?x∈（0，1），有f′（x）•f′（1-x）≤1恒成立，即$（\frac{m}{x}-x）[\frac{m}{1-x}-（1-x）]$≤1，化為[m-（x²-x+1）][m-（x²-x）]≤0，解出并利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：由函數(shù)f（x）=mlnx-$\frac{{x}^{2}}{2}$，
可得f′（x）=$\frac{m}{x}$-x，
∵對?x∈（0，1），有f′（x）•f′（1-x）≤1恒成立，
∴$（\frac{m}{x}-x）[\frac{m}{1-x}-（1-x）]$≤1，
化為[m-（x²-x+1）][m-（x²-x）]≤0，
當(dāng)m≠0時，解得x²-x≤m≤x²-x+1，
∵x²-x=x（x-1）＜0，x²-x+1=$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$$≥\frac{3}{4}$．
∴$0＜m≤\frac{3}{4}$．
當(dāng)m=0時，有f′（x）•f′（1-x）=x（1-x）≤$（\frac{x+1-x}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$＜1恒成立．
綜上可得：實(shí)數(shù)m的取值范圍為$[0，\frac{3}{4}]$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、恒成立問題等價轉(zhuǎn)化方法、一元二次不等式的解法，考查了分析問題與解決問題的能力、計算能力，屬于難題．