Question

已知定義域為R的奇函數f（x）=x|x+m|．
（1）解不等式f（x）≥x；
（2）對任意x₁，x₂∈[1，1+a]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤2，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,二次函數的性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由題意先求出m，代入求函數解析式；
（1）由x|x|≥x可得

x≥0 x2≥x

或

x＜0 -x2≥x

，從而解不等式；
（2）由f（x）=

x2，x≥0 -x2，x＜0

可知f（x）在R上單調遞增，從而化對任意x₁，x₂∈[1，1+a]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤2為f（1+a）-f（1）≤2，從而解得．

解答： 解：∵f（x）=x|x+m|是定義域為R的奇函數，
∴m=0，
∴f（x）=x|x|；
（1）由x|x|≥x得，

x≥0 x2≥x

或

x＜0 -x2≥x

；
解得，x≥1或-1≤x≤0，
故不等式的解集為{x|x≥1或-1≤x≤0}；
（2）f（x）=

x2，x≥0 -x2，x＜0

，
則f（x）在R上單調遞增，
∴f（x）在[1，1+a]上單調遞增，
∴f（1+a）-f（1）≤2，
即（1+a）|1+a|-1≤2，
又∵1+a＞1，
∴0＜a＜

3

-1．

點評：本題考查了分段函數的應用，屬于中檔題．