Question

19．已知數(shù)列{a_n}的奇函數(shù)和偶數(shù)項分別為公差3d和d（d≠0）的等數(shù)數(shù)列，已知a₁=1，a₂=2，且存在不相等的正整數(shù)m、n使得a_m=a_n，則當(dāng)d最大時，數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}．n為奇數(shù)}\\{\frac{n}{2}+1，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 若d₁=3d₂（d₁≠0），且存在正整數(shù)m、n（m≠n），使得a_m=a_n，在m，n中必然一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)．不妨設(shè)m為奇數(shù)，n為偶數(shù)，利用a_m=a_n，d=$\frac{6}{3m-n-1}$，從而可求當(dāng)d最大時，數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：若存在正整數(shù)m、n（m≠n），使得a_m=a_n，在m，n中必然一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)
不妨設(shè)m為奇數(shù)，n為偶數(shù)
∵a_m=a_n，∴1+$\frac{m-1}{2}×3d$=2+（$\frac{n}{2}$-1）d，
∴d=$\frac{6}{3m-n-1}$
∵m為奇數(shù)，n為偶數(shù)，∴3m-n-1的最小正值為2，此時d=3，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}．n為奇數(shù)}\\{\frac{n}{2}+1，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
故答案為：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}．n為奇數(shù)}\\{\frac{n}{2}+1，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定數(shù)列的公差是關(guān)鍵．