Question

14．記x₂-x₁為區(qū)間[x₁，x₂]的長度．已知函數(shù)y=2^|x|，x∈[-2，a]（a≥0），其值域為[m，n]，則區(qū)間[m，n]的長度的最小值是3．

Answer 1

分析 先去絕對值原函數(shù)變成y=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}}&{x≥0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}}&{x＜0}\end{array}\right.$，所以可將區(qū)間[-2，a]分成[-2，0），和[0，a]，所以求出每種情況的y的取值范圍：x∈[-2，0）時，1＜y≤4；而x∈[0，a]時，1≤y≤2^a，所以討論0≤a≤2，和a＞2兩種情況，并求出每種情況下函數(shù)的值域，從而求出區(qū)間[m，n]的長度的最小值．

解答 解：$y={2}^{|x|}=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}}&{x≥0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
∴①x∈[-2，0）時，$（\frac{1}{2}）^{0}＜（\frac{1}{2}）^{x}≤（\frac{1}{2}）^{-2}$；
∴此時1＜y≤4；
②x∈[0，a]時，2⁰≤2^x≤2^a；
∴此時1≤y≤2^a，則：
0≤a≤2時，該函數(shù)的值域為[1，4]，區(qū)間長度為3；
a＞2時，區(qū)間長度為2^a-1＞3；
∴綜上得，區(qū)間[m，n]長度的最小值為3．
故答案為：3．

點評 考查含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的取值范圍，區(qū)間長度的概念，以及分段函數(shù)值域的求法，注意對a的討論．