Question

16．求|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|2015x-1|的最小值．

Answer 1

分析 設f（x）在x點上取得最小值，則必存在正整數(shù)k，1≤k≤2015使得kx-1=0，運用等差數(shù)列的求和公式計算S（x）=（1-x）+（1-2x）+…+（1-（k-1）x）+（kx-1）+…+（2015x-1），設x=$\frac{1}{k}$是最小點，此時f（x）=2k-2017+（2015×1008-k²+k）•$\frac{1}{k}$=k+$\frac{2015×1008}{k}$-2015，運用基本不等式，尋找最小值點，計算即可得到最小值．

解答 解：設f（x）在x點上取得最小值，則必存在正整數(shù)k，1≤k≤2015使得kx-1=0，
設k為kx-1＞0的最小正整數(shù)，則（k-1）x-1≤0，此時
（1）x-1，2x-1，…，（k-1）x-1均小于零；
（2）kx-1，（k+1）x-1，（k+2）x-1，…，2015x-1均大于等于零．
即有S（x）=（1-x）+（1-2x）+…+（1-（k-1）x）+（kx-1）+…+（2015x-1）
=（k-1）-$\frac{k（k-1）}{2}$x+$\frac{（2015-k+1）（2015+k）}{2}$x-（2015-k+1）
=2k-2-2015+（2015×1008-k²+k）x，
這是x的線性函數(shù)且x的系數(shù)2015×1008-k²+k＞0，由kx-1＞0得x＞$\frac{1}{k}$，
此時取x=$\frac{1}{k}$，f（x）變小，這與x點上取得最小值矛盾．
設x=$\frac{1}{k}$是最小點，此時
f（x）=2k-2017+（2015×1008-k²+k）•$\frac{1}{k}$
=2k-2016+$\frac{2015×1008}{k}$-k+1
=k+$\frac{2015×1008}{k}$-2015，
確定正整數(shù)k使得S（x）值最小，也即k+$\frac{2015×1008}{k}$值最小，
由均值定理k+$\frac{2015×1008}{k}$≥2$\sqrt{k•\frac{2015×1008}{k}}$=2$\sqrt{2015×1008}$，
且當k=$\frac{2015×1008}{k}$時，f（x）最小．
由k=$\frac{2015×1008}{k}$得k²=2015×1008解得k=1425.173…，不是整數(shù)，
但1425是距1425.173…最接近的整數(shù)，
故k=1425可使k+$\frac{2015×1008}{k}$最小的正整數(shù)，也即使f（x）最小，
故最小值f（1425）=1425+$\frac{2015×1008}{1425}$-2015=$\frac{47900802}{57}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，通過零點的分析，結合等差數(shù)列的求和公式和基本不等式的運用，尋找最小值點是解題的關鍵，屬于難題．