已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an是Sn與4的等差中項(xiàng),數(shù)列{bn}中,b1=1,點(diǎn)p(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式an和bn;
(2)設(shè)cn=an•bn,求證:數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn≥4.
考點(diǎn):數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)
專題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)先利用an是Sn與4的等差中項(xiàng)把1代入即可求a1,利用Sn=2an-4,再寫(xiě)一式,兩式作差即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng);對(duì)于數(shù)列{bn},直接利用點(diǎn)P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上,得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列即可求通項(xiàng);
(2)先把所求結(jié)論代入求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng),再利用數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法即可求出其各項(xiàng)的和.
解答: 解:(1)∵an是Sn與4的等差中項(xiàng),
∴Sn=2an-4,①∴a1=S1=2a1-4,解得a1=4,
n≥2時(shí),Sn-1=2an-1-4,②
①-②可得:an=2an-2an-1,
∴an=2an-1(n≥2),即數(shù)列{an}是等比數(shù)列,
∴an=2n+1;
∵點(diǎn)P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上,
∴bn-bn+1+2=0,
∴bn+1-bn=2,即數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,又b1=1,
∴bn=2n-1;
(2)∵cn=(2n-1)2n+1
∴Tn=a1b1+a2b2+anbn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)2n+1,
∴2Tn=1×23+3×24+…+(2n-3)2n+1+(2n-1)2n+2,
∴-Tn=1×22+(2×23+2×24+…+2×2n+1)-(2n-1)2n+2
即:-Tn=1×22+(24+25+…+2n+2)-(2n-1)2n+2,
∴Tn=(4n-3)2n+1+12.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng),考查數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.
(1)當(dāng)a=-
1
3
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)a≤-2時(shí),判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)若a≤-2,證明對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),均有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.

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(1)求證:已知:a>0,求證:
a+5
-
a+3
a+6
-
a+4

(2)已知a,b,c均為實(shí)數(shù)且a=x2+2y+
π
2
,b=y2-2z+
π
3
,c=z2-2x+
π
6
,求證:a,b,c中至少有一個(gè)大于0.

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已知關(guān)于x、y的二元一次方程組
2x+ty=3
(t-1)x+y=t-2
(t∈R)有無(wú)窮多組解,求t的值.

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如圖,四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為正方形,PD⊥面ABCD,PD=DA=2,F(xiàn),E分別為AD,PC的中點(diǎn).
(1)證明:DE∥面PFB.          
(2)求點(diǎn)E到平面PFB的距離.

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A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn),B,P為圓上不同點(diǎn),∠AOP=60°,∠AOB=θ,0≤θ<2π,
(1)當(dāng)θ為何值時(shí)
AP
=
OB
;
(2)若
QO
=
OA
+
OB
,且點(diǎn)Q在單位圓上求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)設(shè)a
OB
+
OP
的橫坐標(biāo)為f(θ),求f(θ)+2cos2θ的最小值.

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證明:函數(shù)y=
1
x
在(0,+∞)上為減函數(shù).

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設(shè)
.
a
=(1,5,-1),
b
=(-2,3,5),若(k
a
+
b
)∥(
a
-3
b
),則k=
 

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