Question

A是單位圓與x軸正半軸的交點，B，P為圓上不同點，∠AOP=60°，∠AOB=θ，0≤θ＜2π，
（1）當θ為何值時

AP

=

OB

；
（2）若

QO

=

OA

+

OB

，且點Q在單位圓上求點Q的坐標；
（3）設a

OB

+

OP

的橫坐標為f（θ），求f（θ）+2cos²θ的最小值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)線

專題：平面向量及應用

分析：（1）由題意可得

AP

=（-

1

2

，

3

2

），

OB

=（cosθ，sinθ），可得當cosθ=-

1

2

，sinθ=

3

2

，

AP

=

OB

，并結合θ的范圍，求得θ的值．
（2）設點Q（x，y），則

OA

+

OB

=（1+cosθ，sinθ），-x=1+cosθ，-y=sinθ，再由x²+y²=1求得cosθ 的值，可得θ的值．
（3）求得 a

OB

+

OP

的橫坐標為f（θ）=a•cosθ+

1

2

，可得f（θ）+2cos²θ=2(cosθ+

a

2

)2+

1

2

-

a2

8

，再分對稱軸cosθ=-

a

2

在區(qū)間[-1，1]的左側、中間、右側三種情況，分別求得f（θ）+2cos²θ的最小值．

解答： 解：（1）由題意可得A（1，0）、P（cos60°，sin60°）、B（cosθ，sinθ），
 

AP

=（cos60°-1，sin60°-0）=（-

1

2

，

3

2

），

OB

=（cosθ，sinθ），
故當cosθ=-

1

2

，sinθ=

3

2

，即θ=

2π

3

時，

AP

=

OB

．
（2）∵

QO

=

OA

+

OB

，設點Q（x，y），則

OA

+

OB

=（1+cosθ，sinθ），

QO

=（-x，-y），
∴-x=1+cosθ，-y=sinθ，∴x²+y²=（1+cosθ）²+sin²θ=1，求得cosθ=-

1

2

，∴θ=

2π

3

．
（3）∵a

OB

+

OP

的橫坐標為f（θ）=a•cosθ+

1

2

，
∴f（θ）+2cos²θ=a•cosθ+

1

2

+2cos²θ=2(cosθ+

a

2

)2+

1

2

-

a2

8

，
當-

a

2

＜-1時，f（θ）+2cos²θ的最小值為 2(-1+

a

2

)2+

1

2

-

a2

8

；
當-1≤-

a

2

≤1時，f（θ）+2cos²θ的最小值為

1

2

-

a2

8

；
當-

a

2

＞1時，f（θ）+2cos²θ的最小值為 2(1+

a

2

)2+

1

2

-

a2

8

．

點評：本題考查圓的參數(shù)方程，著重考查共線向量坐標間的關系及點在單位圓上，其坐標滿足圓的方程的應用，屬于基礎題．