【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形,∠BAD=60°,對(duì)角線ACBD相交于點(diǎn)O,四邊形ACFE為梯形,EF//AC,點(diǎn)E在平面ABCD上的射影為OA的中點(diǎn),AE與平面ABCD所成角為45°.

(Ⅰ)求證:BD⊥平面ACF;

(Ⅱ)求平面DEF與平面ABCD所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)取AO中點(diǎn)H,連結(jié)EH,則EHBD,又ACBD,由此可證;

(Ⅱ)以H為原點(diǎn),HAx軸,在平面ABCD中過HAC的垂線為y軸,HEz軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由(Ⅰ)知,∠EAHAE與平面ABCD所成的角,再根據(jù)平面的法向量的夾角即可求出答案.

(Ⅰ)證:取AO中點(diǎn)H,連結(jié)EH,則EH⊥平面ABCD,

BD在平面ABCD內(nèi),∴EHBD,

又菱形ABCD中,ACBD,且EHAC=H,

EHAC在平面EACF內(nèi),

BD⊥平面EACF,

BD⊥平面ACF

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知EH⊥平面ABCD,

∴以H為原點(diǎn),HAx軸,在平面ABCD中過HAC的垂線為y軸,HEz軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

EH⊥平面ABCD,∴∠EAHAE與平面ABCD所成的角,即∠EAH=45°,

AB=4,∴AO=2,AHEH,

H0,0,0),A0,0),D,﹣2,0),O,0,0),E0,0,),

平面ABCD的法向量0,0,1),

(﹣2,00),),

EFAC,∴(﹣2λ,0,0),

設(shè)平面DEF的法向量x,y,z),

,取y,得0,,﹣2),

,

∴平面DEF與平面ABCD所成角的正弦值為

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參考數(shù)據(jù):若ZNμ,σ2),則PμσZμ+σ)=0.6826,PμZμ+)=0.9544,PμZμ+)=0.9974

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d

等級(jí)

三級(jí)品

二級(jí)品

一級(jí)品

特級(jí)品

特級(jí)品

頻數(shù)

1

m

29

n

7

用分層抽樣的方法從其中的一級(jí)品和特級(jí)品共抽取6個(gè),其中一級(jí)品2個(gè).

1)估計(jì)這批水果中特級(jí)品的比例;

2)已知樣本中這批水果不按等級(jí)混裝的話20個(gè)約1斤,該種植戶有20000斤這種水果待售,商家提出兩種收購方案:

方案A:以6.5/斤收購;

方案B:以級(jí)別分裝收購,每袋20個(gè),特級(jí)品8/袋,一級(jí)品5/袋,二級(jí)品4/袋,三級(jí)品3/.

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5%

10%

0.8

0.2

2%

8%

12%

0.2

0.5

0.3

1)若在兩個(gè)項(xiàng)目上各投資萬元,分別表示投資項(xiàng)目所獲得的利潤,求方差,;

2)若在兩個(gè)項(xiàng)目上共投資萬元,那么如何分配,能使投資項(xiàng)目所得利潤的方差與投資項(xiàng)目所得利潤的方差的和最小,最小值是多少?

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2)求,判斷函數(shù)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;

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