Question

3．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1．
（1）求證：A₁C₁∥平面ABCD；
（2）求：△A₁C₁A的面積；
（3）求A₁C₁與平面A₁B₁BA所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）由A₁C₁∥AC，能證明A₁C₁∥平面ABCD．
（2）由AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，能求出△A₁C₁A的面積．
（3）由C₁B₁⊥平面A₁B₁BA，得∠C₁A₁B₁是A₁C₁與平面A₁B₁BA所成角，由此能求出A₁C₁與平面A₁B₁BA所成角．

解答 證明：（1）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁C₁∥AC，且AC?平面ABCD，A₁C₁?平面ABCD，
∴A₁C₁∥平面ABCD．
解：（2）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴AA₁=1，A₁C₁=$\sqrt{2}$，AA₁⊥A₁C₁，
∴△A₁C₁A的面積${S}_{△{A}_{1}{C}_{1}A}$=$\frac{1}{2}×A{A}_{1}×{A}_{1}{C}_{1}$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）∵C₁B₁⊥平面A₁B₁BA，
∴∠C₁A₁B₁是A₁C₁與平面A₁B₁BA所成角，
∵A₁B₁=C₁B₁，A₁B₁⊥C₁B₁，∴∠C₁A₁B₁=45°，
∴A₁C₁與平面A₁B₁BA所成角為45°．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三角形面積的求法，考查線面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．