Question

16．（1）已知函數(shù)f（2x-1）的定義域為[1，4]，求函數(shù)f（2^x）的定義域；
（2）求函數(shù)y=$\frac{1+4x+{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$（x＞0）的值域．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（2x-1）的定義域求得函數(shù)f（x）的定義域，再由2^x在f（x）的定義域內(nèi)求得x的范圍得答案；
（2）把已知函數(shù)解析式變形，然后利用基本不等式求解．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（2x-1）的定義域為[1，4]，即x∈[1，4]，
∴2x-1∈[1，7]，則函數(shù)f（x）的定義域為[1，7]，
由1≤2^x≤7，得0≤x≤log₂7．
∴函數(shù)f（2^x）的定義域為[0，log₂7]；
（2）y=$\frac{1+4x+{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=$1+\frac{4x}{{x}^{2}+1}$=$1+\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$，
∵x＞0，
∴x+$\frac{1}{x}$≥2，當且僅當x=1時等號成立，
∴$0＜\frac{1}{x+\frac{1}{x}}≤\frac{1}{2}$，則$1＜1+\frac{4}{x+\frac{1}{x}}≤3$．
∴函數(shù)y=$\frac{1+4x+{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$（x＞0）的值域為（1，3]．

點評 本題考查函數(shù)的定義域和值域的求法，體現(xiàn)了極限思想方法的運用，是中檔題．