Question

19．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n•5ⁿ，求其前n項(xiàng)和公式．

Answer 1

分析 由于數(shù)列的通項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的積構(gòu)成的新數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和．

解答 解：解：S_n=1×5+2×5²+3×5³+…+n•5ⁿ
∴5S_n=1×5²+2×5³+3×5⁴…+（n-1）•5ⁿ+n•5ⁿ⁺¹
兩式相減得-4S_n=5+5²+5³+…+5ⁿ-n•5ⁿ⁺¹
=$\frac{5-{5}^{n+1}}{1-5}-n•{5}^{n+1}$
∴${S}_{n}=\frac{1}{16}[（4n-1）•{5}^{n+1}+5]$
數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和公式為${S}_{n}=\frac{1}{16}[（4n-1）•{5}^{n+1}+5]$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察等比數(shù)列和等差數(shù)列的積組成的新數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法，求數(shù)列的和，屬于中檔題．