Question

7．已知x，y∈R，則u（x，y）=x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$-2xy+$\frac{18}{x}$$\sqrt{2-{y}^{2}}$的最小值是6．

Answer 1

分析 由題意，利用配方可得u（x，y）=x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$-2xy+$\frac{18}{x}$$\sqrt{2-{y}^{2}}$=$[\frac{9}{x}+\sqrt{2-{y}^{2}}]^{2}$+（x-y）²-2，從而設(shè)點P（x，$\frac{9}{x}$），Q（y，-$\sqrt{2-{y}^{2}}$）；原函數(shù)可看成兩點的距離的平方減去2，從而利用數(shù)形結(jié)合求解．

解答 解：u（x，y）=x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$-2xy+$\frac{18}{x}$$\sqrt{2-{y}^{2}}$
=$[\frac{9}{x}+\sqrt{2-{y}^{2}}]^{2}$+（x-y）²-2，
設(shè)點P（x，$\frac{9}{x}$），Q（y，-$\sqrt{2-{y}^{2}}$）；
當(dāng)x∈R（x≠0）時，
點P（x，$\frac{9}{x}$）在以兩坐標(biāo)軸為漸近線的雙曲線上，
點Q在半圓x²+y²=2（y≤0）上，
則|PQ|≥3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$；
故u（x，y）=|PQ|²≥6，
（當(dāng)且僅當(dāng)x=-3，y=-1時，等號成立）
故答案為：6．

點評 本題考查了學(xué)生的作圖能力及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．