Question

5．設(shè)F₁、F₂，分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)M，使|OF₁|=|OM|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|MF₁|=$\sqrt{2}$|MF₂|，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• B． $\sqrt{3}+1$
• C． $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}$
• D． $\sqrt{3}+\sqrt{6}$

Answer 1

分析 依題意可知|OF₁|=|OF₂|=|OP|判斷出∠F₁PF₂=90°，設(shè)出|PF₂|=t，則|F₁P|=$\sqrt{2}$t，進(jìn)而利用雙曲線定義可用t表示出a，根據(jù)勾股定理求得t和c的關(guān)系，最后可求得雙曲線的離心率．

解答 解：∵|OF₁|=|OF₂|=|OM|
∴∠F₁MF₂=90°
設(shè)|MF₂|=t，則|F₁M|=$\sqrt{2}$t，a=$\frac{\sqrt{2}t-t}{2}$
∴t²+2t²=4c²，
∴t=$\frac{2}{\sqrt{3}}$c
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了學(xué)生對雙曲線定義的理解和靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．