Question

已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*），其前n項(xiàng)和為S_n，給出下列四個(gè)命題：
①若{a_n}是等差數(shù)列，則三點(diǎn)(10，

S10

10

)、(100，

S100

100

)、(110，

S110

110

)共線；
②若{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=-11，a₃+a₇=-6，則S₁、S₂、…、S_n這n個(gè)數(shù)中必然存在一個(gè)最大者；
③若{a_n}是等比數(shù)列，則S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）也是等比數(shù)列；
④若S_n+1=a₁+qS_n（其中常數(shù)a₁q≠0），則{a_n}是等比數(shù)列；
⑤若等比數(shù)列{a_n}的公比是q（q是常數(shù)），且a₁=1，則數(shù)列{a_n²}的前n項(xiàng)和s_n=

1-q2n

1-q2

．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．（將你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,簡(jiǎn)易邏輯

分析：寫出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和后變形得到

Sn

n

=a1+(n-1)

d

2

，由此得到命題①正確；由題意求出等差數(shù)列的公差小于0說明S₁、S₂、…、S_n這n個(gè)數(shù)中必有一個(gè)最小值得到②錯(cuò)；舉特例說明③錯(cuò)；由數(shù)列遞推式可得{a_n}是等比數(shù)列；舉特殊數(shù)列說明⑤錯(cuò)．

解答： 解：對(duì)于①，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn=na1+

n(n-1)

2

d，
知

Sn

n

=a1+(n-1)

d

2

，即數(shù)列{

Sn

n

}為等差數(shù)列，則已知三點(diǎn)都在一次函數(shù)y=a1+(x-1)

d

2

得圖象上，故①對(duì)；
對(duì)于②，由a₃+a₇=-6得2a₁+8d=-6，又a₁=-11＜0，
∴d=2＞0，故S₁、S₂、…、S_n這n個(gè)數(shù)中必有一個(gè)最小值，故②錯(cuò)；
對(duì)于③，Sm=a1+a2+…+am=a1(

1-qm

1-q

)，S2m-Sm=am+1+am+2+…+a2m=qm(a1+a2+…+am)=a1(

qm-q2m

1-q

)，S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m=q2m(a1+a2+…+am)=a1(

q2m-q3m

1-q

)，
當(dāng)a₁+a₂+…+a_m≠0時(shí)是等比數(shù)列，當(dāng)a₁+a₂+…+a_m=0時(shí)，命題不成立．故③錯(cuò)；
對(duì)于④由S_n+1=a₁+qS_n得S_n=a₁+qS_n-1，兩式相減得a_n+1=qa_n，故④對(duì)；
對(duì)于⑤，若等比數(shù)列{a_n}的是常數(shù)數(shù)列，又a₁=1，則數(shù)列{an2}是公比為1，首項(xiàng)為a₁=1的等比數(shù)列，則1-q²=0，故⑤錯(cuò)．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差（比）數(shù)列的定義及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了性質(zhì)am=anqm-n(m，n∈N*)的應(yīng)用，訓(xùn)練了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的最值問題，是中檔題．