Question

過(guò)拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在y軸左側(cè)），則

|AF|

|FB|

=

 

．

Answer 1

分析：作AA₁⊥x軸，BB₁⊥x軸．則可知AA₁∥OF∥BB₁，根據(jù)比例線段的性質(zhì)可知

|AF|

|FB|

=

|OA1|

|OB1|

=

|xA|

|xB|

，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)和直線的傾斜角可表示出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去x，根據(jù)韋達(dá)定理求得x_A+x_B和x_Ax_B的表達(dá)式，進(jìn)而可求得x_Ax_B=-（

xA+xB

2 3 3

）²，整理后兩邊同除以x_B²得關(guān)于

xA

xB

的一元二次方程，求得

xA

xB

的值，進(jìn)而求得

|AF|

|FB|

．

解答：解：如圖，作AA₁⊥x軸，
BB₁⊥x軸．
則AA₁∥OF∥BB₁，
∴

|AF|

|FB|

=

|OA1|

|OB1|

=

|xA|

|xB|

，
又已知x_A＜0，x_B＞0，
∴

|AF|

|FB|

=-

xA

xB

，
∵直線AB方程為y=xtan30°+

p

2

即y=

3

3

x+

p

2

，
與x²=2py聯(lián)立得x²-

2 3

3

px-p²=0
∴x_A+x_B=

2 3

3

p，x_A•x_B=-p²，
∴x_Ax_B=-p²=-（

xA+xB

2 3 3

）²
=-

3

4

（x_A²+x_B²+2x_Ax_B）
∴3x_A²+3x_B²+10x_Ax_B=0
兩邊同除以x_B²（x_B²≠0）得
3（

xA

xB

）²+10

xA

xB

+3=0
∴

xA

xB

=-3或-

1

3

．
又∵x_A+x_B=

2 3

3

p＞0，
∴x_A＞-x_B，
∴

xA

xB

＞-1，
∴

|AF|

|FB|

=-

xA

xB

=-（-

1

3

）=

1

3

．
故答案為：

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系以及比例線段的知識(shí)．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．