Question

16．函數(shù)f（x）=log_a（x-4）-1（a＞0，a≠1）所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為（m，n），圓C的方程為（x-m）²+（y-n）²=r²（r＞0），直線$\sqrt{3}x+y+1-2\sqrt{3}=0$被圓C所截得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{73}$．
（1）求m、n以及r的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P（2，-1），探究在直線y=-1上是否存在一點(diǎn)B（異于點(diǎn)P），使得對(duì)于圓C上任意一點(diǎn)T到P，B兩點(diǎn)的距離之比$\frac{{|{TB}|}}{{|{TP}|}}=k$（k為常數(shù)）．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)B坐標(biāo)以及常數(shù)k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意和對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)可得m=5，n=-1，由圓的弦長(zhǎng)公式可得r的方程，解方程可得；
（2）假設(shè)在直線y=-1上存在一點(diǎn)B（異于點(diǎn)P）滿足題意，下面證明：設(shè)T（x，y）為圓上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)T在S和Q時(shí)，則有$\frac{{|{SB}|}}{{|{SP}|}}=\frac{{|{QB}|}}{{|{QP}|}}$，解得$m=-\frac{10}{3}$，然后由距離公式證明在直線y=-1上存在一點(diǎn)$B（-\frac{10}{3}，-1）$，使得對(duì)于圓C上任意一點(diǎn)T到P，B兩點(diǎn)的距離之比$\frac{{|{TB}|}}{{|{TP}|}}=\frac{5}{3}$．

解答 解：（1）在函數(shù)f（x）=log_a（x-4）-1（a＞0，a≠1）中，
當(dāng)x=5時(shí)，y=-1，∴必經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為點(diǎn)（5，-1），即m=5，n=-1，
由于直線AP被圓C所截得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{73}$，圓C半徑為r，設(shè)圓心到直線AP的距離為d，
由于圓心（5，-1）到直線$\sqrt{3}x+y+1-2\sqrt{3}=0$的距離為$d=\frac{{|{5\sqrt{3}-1+1-2\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{3}+1}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴${d^2}+{（\frac{{\sqrt{73}}}{2}）^2}={r^2}$，代入d值解方程可得r=5；
（2）假設(shè)在直線y=-1上存在一點(diǎn)B（異于點(diǎn)P），使得對(duì)于圓C上任意一點(diǎn)T到P，B兩點(diǎn)的距離之比$\frac{{|{TB}|}}{{|{TP}|}}=k$（k為常數(shù)）．
圓與直線y=-1的交點(diǎn)為S（0，-1），Q（10，-1），設(shè)B（m，-1）（m≠2），而若點(diǎn)T在S和Q時(shí)，則有$\frac{{|{SB}|}}{{|{SP}|}}=\frac{{|{QB}|}}{{|{QP}|}}$，
即$\frac{|m|}{2}=\frac{{|{m-10}|}}{8}$，解得$m=-\frac{10}{3}$，
下面證明：設(shè)T（x，y）為圓上任意一點(diǎn)，則：$|{TB}|=\sqrt{{{（x+\frac{10}{3}）}^2}+{{（y+1）}^2}}，|{TP}|=\sqrt{{{（x-2）}^2}+{{（y+1）}^2}}$，$\frac{{|{TB}|}}{{|{TP}|}}=\frac{{\sqrt{{{（x+\frac{10}{3}）}^2}+{{（y+1）}^2}}}}{{\sqrt{{{（x-2）}^2}+{{（y+1）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{{（y+1）}^2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}}}}{{\sqrt{{x^2}+{{（y+1）}^2}-4x+4}}}$=$\frac{{\sqrt{{x^2}+{{（y+1）}^2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}}}}{{\sqrt{{x^2}+（y+1{）^2}-4x+4}}}=\frac{{\sqrt{10x+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}}}}{{\sqrt{6x+4}}}=\frac{5}{3}$，
∴在直線y=-1上存在一點(diǎn)$B（-\frac{10}{3}，-1）$，使得對(duì)于圓C上任意一點(diǎn)T到P，B兩點(diǎn)的距離之比$\frac{{|{TB}|}}{{|{TP}|}}=\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的綜合應(yīng)用，涉及圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題和距離公式以，屬中檔題．