Question

11．與圓（x+1）²+y²=1和圓（x-5）²+y²=9都相切的圓的圓心軌跡是（　�。�

• A． 橢圓和雙曲線
• B． 兩條雙曲線
• C． 雙曲線的兩支
• D． 雙曲線的一支

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，利用圓心距與半徑的關系結合雙曲線的定義得答案．

解答 解：如圖，設動圓M的半徑為r，
當動圓M與圓C₁、C₂均外切時，|MC₁|=r+1，|MC₂|=r+3，
∴|MC₂|-|MC₁|=2，這表明動點M到兩定點C₂，C₁的距離之差是常數(shù)2．
根據(jù)雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的左支；
當動圓M與圓C₁、C₂均內(nèi)切時，|MC₁|=r-1，|MC₂|=r-3，
∴|MC₁|-|MC₂|=2，這表明動點M到兩定點C₁，C₂的距離之差是常數(shù)2．
根據(jù)雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的右支；
當動圓M與圓C₁外切，與C₂內(nèi)切時，|MC₁|=r+1，|MC₂|=r-3，
∴|MC₁|-|MC₂|=4，
∴動點P的軌跡是以C₁，C₂為焦點，實軸長為4的雙曲線右支；
當動圓M與圓C₁內(nèi)切，與C₂外切時，|MC₁|=r-1，|MC₂|=r+3，
∴|MC₂|-|MC₁|=4，
∴動點P的軌跡是以C₁，C₂為焦點，實軸長為4的雙曲線左支．
綜上，與圓（x+1）²+y²=1和圓（x-5）²+y²=9都相切的圓的圓心軌跡是兩條雙曲線．
故選：B．

點評 本題考查曲線與方程，考查了圓與圓的位置關系，考查了橢圓與雙曲線的定義，是中檔題．