Question

8．（Ⅰ）求函數(shù)$y=\sqrt{2sinx+\sqrt{3}}$的定義域．
（Ⅱ）已知$sin（{540°}+α）=-\frac{4}{5}$，α為第二象限角．分別求cos（α-270°）及$\frac{{{{[sin（{{180}°}-α）+cos（{{360}°}-α）]}^2}}}{{tan（{{180}°}+α）}}$
的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得$2sinx+\sqrt{3}≥0$，解得$-\frac{π}{3}+2kπ≤x≤\frac{4π}{3}+2kπ$（k∈Z），從而可求定義域．
（Ⅱ）由已知利用誘導(dǎo)公式可得$sinα=\frac{4}{5}$，利用誘導(dǎo)公式可得cos（α-270°）的值，根據(jù)角的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα，利用誘導(dǎo)公式化簡所求即可計算得解．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得：$2sinx+\sqrt{3}≥0$，即$sinx≥-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
解得（圖象法或單位圓法）：$-\frac{π}{3}+2kπ≤x≤\frac{4π}{3}+2kπ$（k∈Z），
∴所求定義域為[$-\frac{π}{3}+2kπ，\frac{4π}{3}+2kπ$]（k∈Z）
（Ⅱ）由已知$sin（{540°}+α）=-\frac{4}{5}$，可得$sinα=\frac{4}{5}$，
∴cos（α-270°）=$-sinα=-\frac{4}{5}$，
又∵α為第二象限角，
∴$cosα=-\frac{3}{5}$，
于是：$\frac{{{{[sin（{{180}°}-α）+cos（{{360}°}-α）]}^2}}}{{tan（{{180}°}+α）}}$=$\frac{{{{（sinα+cosα）}^2}}}{tanα}=-\frac{3}{100}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)定義域及其求法，考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．