Question

6．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上的一點(diǎn)M（2，y₀）到焦點(diǎn)F的距離等于3．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)D（3，0）的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，求△ABF面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的定義得出M到準(zhǔn)線的距離為3，列方程解出p；
（2）設(shè)AB方程為x=my+3，與拋物線方程聯(lián)立方程組得出A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系，得出△ABF的面積關(guān)于m的函數(shù)，求出最小值即可．

解答 解：（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
∴M（2，y₀）到焦點(diǎn)的距離為2+$\frac{p}{2}=3$，
∴p=2．
∴拋物線方程為y²=4x．
（2）設(shè)AB的方程為x=my+3．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+3}\end{array}\right.$，得y²-4my-12=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-12．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{16{m}^{2}+48}$．
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}|FD||{y}_{1}|$+$\frac{1}{2}|FD||{y}_{2}|$=|y₁|+|y₂|=|y₁-y₂|=$\sqrt{16{m}^{2}+48}$$≥4\sqrt{3}$．
∴m=0時(shí)，S_△ABF取得最小值4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．