Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3x²，若過點（2，n）可作三條直線與曲線y=f（x）相切，則實數(shù)n的取值范圍是（　�。�

• A． （-5，-4）
• B． （-5，0）
• C． （-4，0）
• D． （-5，-3]

Answer 1

分析 設(shè)出切點坐標（${x}_{0}，{{x}_{0}}^{3}-3{{x}_{0}}^{2}$），求出原函數(shù)的導函數(shù)，寫出切線方程，把點（2，n）代入切線方程，整理得到$2{{x}_{0}}^{3}-9{{x}_{0}}^{2}+12{x}_{0}+n=0$．令g（x）=2x³-9x²+12x，利用導數(shù)求其極大值為g（1）=5；極小值為g（2）=4．再由4＜-n＜5求得n的范圍．

解答 解：f（x）=x³-3x²，則f′（x）=3x²-6x，
設(shè)切點為（${x}_{0}，{{x}_{0}}^{3}-3{{x}_{0}}^{2}$），則$f′（{x}_{0}）=3{{x}_{0}}^{2}-6{x}_{0}$．
∴過切點處的切線方程為$y-{{x}_{0}}^{3}+3{{x}_{0}}^{2}=（3{{x}_{0}}^{2}-6{x}_{0}）（x-{x}_{0}）$，
把點（2，n）代入得：$n-{{x}_{0}}^{3}+3{{x}_{0}}^{2}=（3{{x}_{0}}^{2}-6{x}_{0}）（2-{x}_{0}）$．
整理得：$2{{x}_{0}}^{3}-9{{x}_{0}}^{2}+12{x}_{0}+n=0$．
若過點（2，n）可作三條直線與曲線y=f（x）相切，則方程$2{{x}_{0}}^{3}-9{{x}_{0}}^{2}+12{x}_{0}+n=0$有三個不同根．
令g（x）=2x³-9x²+12x，
則g′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2），
∴當x∈（-∞，1）∪（2，+∞）時，g′（x）＞0；當x∈（1，2）時，g′（x）＜0，
∴g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（1，2）．
∴當x=1時，g（x）有極大值為g（1）=5；當x=2時，g（x）有極小值為g（2）=4．
由4＜-n＜5，得-5＜n＜-4．
∴實數(shù)n的取值范圍是（-5，-4）．
故選：A．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查函數(shù)零點的判定，訓練了利用導數(shù)求函數(shù)的極值，是中檔題．