Question

20．設(shè)$f（x）=x-\frac{a-1}{x}-alnx$（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)$（\frac{1}{2}，f（{\frac{1}{2}}））$處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＜1時(shí)，在$[\frac{1}{e}，e]$內(nèi)是否存在一實(shí)數(shù)x₀，使f（x₀）＞e-1成立？

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，從而求出切線方程即可；
（Ⅱ）只需證明$x∈[\frac{1}{e}，{e}]$時(shí)，f（x）_max＞e-1即可，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值，從而判斷結(jié)論即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-lnx，${f^'}（x）=1-\frac{1}{x}$，．…（2分）
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}+ln2）$處的切線的斜率為${f^'}（\frac{1}{2}）=1-\frac{1}{{\frac{1}{2}}}=-1$．…（4分）
所求切線方程為$y-（\frac{1}{2}+ln2）=-（x-\frac{1}{2}）$，即x+y-ln2-1=0．…（6分）
（Ⅱ）假設(shè)當(dāng)a＜1時(shí)，在$[\frac{1}{e}，{e}]$存在一點(diǎn)x₀，使f（x₀）＞e-1成立，
則只需證明$x∈[\frac{1}{e}，{e}]$時(shí)，f（x）_max＞e-1即可．…（8分）
$f'（x）=1+\frac{a-1}{x^2}-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}-ax+（a-1）}}{x^2}=\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{x^2}（x＞0）$，
令f′（x）=0得，x₁=1，x₂=a-1，當(dāng)a＜1時(shí)，a-1＜0，
當(dāng)$x∈（{\frac{1}{e}，1}）$時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，f′（x）＞0．
函數(shù)f（x）在$[\frac{1}{e}，1]$上遞減，在[1，e]上遞增，…（10分）
∴$f{（x）_{max}}=max\{f（\frac{1}{e}），f（{e}）\}$．
于是，只需證明f（ e）＞e-1或$f（\frac{1}{e}）＞{e}-1$即可．…（12分）
∵$f（{e}）-（{e}-1）={e}-\frac{a-1}{e}-a-（{e}-1）$=$\frac{{（{e}+1）（1-a）}}{e}$＞0
∴f（ e）＞e-1成立…（14分）
所以假設(shè)正確，即當(dāng)a＜1時(shí)，在$x∈[\frac{1}{e}，{e}]$上至少存在一點(diǎn)x₀，使f（x₀）＞e-1成立．…（15分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．