【題目】已知
(I)求函數(shù)的極值;
(II)設(shè),若
有兩個(gè)零點(diǎn),求
的取值范圍.
【答案】(I)時(shí),
沒有極值,
時(shí)
有極小值
;(II)
.
【解析】
(I)求得函數(shù)的,將
分成
兩類,利用
的正負(fù)情況,得到
的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求得
的極值.(II)先求得函數(shù)
的表達(dá)式,并求得其導(dǎo)數(shù)
,對
分成
類,利用
的單調(diào)區(qū)間和極值情況,結(jié)合題意“
有兩個(gè)零點(diǎn)”的要求,求得
的取值范圍.
(I).(1)若
,顯然
,所以
在
上遞增,所以
沒有極值.(2)若
,則
,
,所以
在
上是減函數(shù),在
上是增函數(shù).所以
在
處取極小值,極小值為
.(II)
.函數(shù)
的定義域?yàn)?/span>
,且
.(1)若
,則
;
.所以
在
上是減函數(shù),在
上是增函數(shù).所以
.令
,則
.顯然
,所以
在
上是減函數(shù).又函數(shù)
在
上是減函數(shù),取實(shí)數(shù)
,則
.又
,
在
上是減函數(shù),在
上是增函數(shù).由零點(diǎn)存在性定理,
在
上各有一個(gè)唯一的零點(diǎn).所以
符合題意.(2)若
,則
,顯然
僅有一個(gè)零點(diǎn)
.所以
不符合題意.(3)若
,則
.①若
,則
.此時(shí)
,即
在
上遞增,至多只有一個(gè)零點(diǎn),所以
不符合題意.②若
,則
,函數(shù)
在
上是增函數(shù),在
上是減函數(shù),在
上是增函數(shù),所以
在
處取得極大值,且極大值
,所以
最多有一個(gè)零點(diǎn),所以
不符合題意.③若
,則
,函數(shù)
在
和
上遞增,在
上遞減,所以
在
處取得極大值,且極大值為
,所以
最多有一個(gè)零點(diǎn),所以
不符合題意.綜上所述,
的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將這
個(gè)自然數(shù)隨機(jī)地排列在
的正方形方格內(nèi),對于同一行或同一列中的任意兩個(gè)數(shù),計(jì)算較大數(shù)與較小數(shù)的商,得到
個(gè)分?jǐn)?shù).把最小的分?jǐn)?shù)稱之為這種排列的“特征值”.試求特征值的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面的類比過程。
(1)在一維直線上,線段是一個(gè)封閉的中心對稱圖形,有命題1:不重合的兩點(diǎn)決定一條線段;
(2)在二維平面上,圓是一個(gè)封閉的中心對稱圖形,有命題2:不共線的三點(diǎn)決定一個(gè)圓;
(3)在三維空間中,球是一個(gè)封閉的中心對稱圖形,類比猜想:不共面的四點(diǎn)決定一個(gè)球。
證明或否定這個(gè)類比猜想:不共面的四點(diǎn)決定一個(gè)球。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知以點(diǎn)C(t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O和點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)O和點(diǎn)B,其中O為原點(diǎn).
(1)求證:△OAB的面積為定值;
(2)設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點(diǎn)M,N,若OM=ON,求圓C的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求
的極值;
(2)當(dāng)時(shí),討論
的單調(diào)性;
(3)若對任意的,
,恒有
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,
,
,
,
,
.
(Ⅰ)求異面直線AB與PD所成角的余弦值;
(Ⅱ)證明:平面平面PBD;
(Ⅲ)求直線DC與平面PBD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的實(shí)軸端點(diǎn)分別為
,記雙曲線的其中一個(gè)焦點(diǎn)為
,一個(gè)虛軸端點(diǎn)為
,若在線段
上(不含端點(diǎn))有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)
,使得
,則雙曲線的離心率
的取值范圍是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為建設(shè)美麗鄉(xiāng)村,政府欲將一塊長12百米,寬5百米的矩形空地ABCD建成生態(tài)休閑園,園區(qū)內(nèi)有一景觀湖EFG(圖中陰影部分).以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖所示).景觀湖的邊界曲線符合函數(shù)模型.園區(qū)服務(wù)中心P在x軸正半軸上,PO=
百米.
(1)若在點(diǎn)O和景觀湖邊界曲線上一點(diǎn)M之間修建一條休閑長廊OM,求OM的最短長度;
(2)若在線段DE上設(shè)置一園區(qū)出口Q,試確定Q的位置,使通道直線段PQ最短.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)x∈[﹣2,2]時(shí),不等式f(x)<m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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