Question

17．在數(shù)列{a_n}中，若存在一個確定的正整數(shù)T，對任意n∈N^*滿足a_n+T=a_n，則稱{a_n}是周期數(shù)列，T叫做它的周期．已知數(shù)列{x_n}滿足x₁=1，x₂=a（a≤1），x_n+2=|x_n+1-x_n|，若數(shù)列{x_n}的周期為3，則{x_n}的前100項的和為67．

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出x₃=1-a，x₄=|1-2a|，且x₄=x₁，從而得a=0或a=1．由此能求出{x_n}的前100項的和．

解答 解：由x_n+2=|x_n+1-x_n|，得x₃=|x₂-x₁|=|a-1|=1-a，x₄=|x₃-x₂|=|1-2a|，
∵數(shù)列{x_n}的周期為3，
∴x₄=x₁，即|1-2a|=1，解得a=0或a=1．
當(dāng)a=0時，數(shù)列為1，0，1，1，0，1，…，∴S₁₀₀=2×33+1=67．
當(dāng)a=1時，數(shù)列為1，1，0，1，1，0，…，∴S₁₀₀=2×33+1=67．
綜上：{x_n}的前100項的和為67．
故答案為：67．

點評 本題考查數(shù)列的前100項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)列的周期性和分類討論思想的合理運用．