Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+a{x}^{2}+bx\\;x∈[-1，2）}\\{\frac{1}{x}+tlnx\\;x∈[2，4]}\end{array}\right.$且函數(shù)f（x）在x=1和x=-$\frac{2}{3}$處取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[-1，2）上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)m＜2，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，4]上單調(diào)遞增，求滿足該條件的m的最小值和此時(shí)實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）在x=1和x=-$\frac{2}{3}$處取得極值得到方程組，解出a，b的值即可；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0，解不等式即可；
（3）結(jié)合（2）得到函數(shù)f（x）在[1，4]遞增，求出m的最小值，進(jìn)而求出t的范圍．

解答 解：（1）x∈[-1，2）時(shí)：f（x）=x³+ax²+bx，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函數(shù)f（x）在x=1和x=-$\frac{2}{3}$處取得極值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3+2a+b=0}\\{f′（-\frac{2}{3}）=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}a+b=0}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，b=-2；
（2）由（1）得：在區(qū)間[-1，2）上：
f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x，f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
令f′（x）≥0，解得：x≥1或x≤-$\frac{2}{3}$，
∴f（x）在[-1，-$\frac{2}{3}$]，[1，2）遞增；
（3）若存在一個(gè)實(shí)數(shù)m＜2，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，4]上單調(diào)遞增，
則由（2）得：m≥1，∴m的最小值是1，
且8-2-4≤$\frac{1}{2}$+tln2，解得：t≥$\frac{3}{2ln2}$，
而在區(qū)間[2，4]上，f（x）=$\frac{1}{x}$+tlnx，f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{t}{x}$=$\frac{tx-1}{{x}^{2}}$，
由tx-1≥0在[2，4]恒成立，得：t≥${（\frac{1}{x}）}_{max}$=$\frac{1}{2}$，
綜上：t≥$\frac{3}{2ln2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．