Question

2．已知直線x-y-1=0與橢圓（n-1）x²+ny²-n（n-1）=0（n＞0）交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓過橢圓的左焦點F，求實數(shù)的n值．

Answer 1

分析 求出F的坐標，直線方程代入橢圓方程并整理，利用韋達定理，結合以AB為直徑的圓過橢圓的焦點F，利用向量的數(shù)量積公式，即可求得結論．

解答 解：橢圓（n-1）x²+ny²-n（n-1）=0，即為$\frac{{x}^{2}}{n}$+$\frac{{y}^{2}}{n-1}$=1，
c=$\sqrt{n-（n-1）}$=1，∴F（-1，0），
直線y=x-1代入橢圓（n-1）x²+ny²-n（n-1）=0，
并整理，得（2n-1）x²-2nx+2n-n²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{2n}{2n-1}$，x₁x₂=$\frac{2n-{n}^{2}}{2n-1}$
∴y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=$\frac{-{n}^{2}+2n-1}{2n-1}$，
∵以AB為直徑的圓過橢圓的左焦點F，
∴FA⊥FB，即有$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，
∴（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=0，
即有x₁x₂+x₁+x₂+1+y₁y₂=0，
∴$\frac{2n-{n}^{2}}{2n-1}$+$\frac{2n}{2n-1}$+1+$\frac{-{n}^{2}+2n-1}{2n-1}$=0，
∴n²-4n+1=0，
∴n=2±$\sqrt{3}$∵n＞1
∴n=2+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．