Question

3．已知雙曲線T：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，過點B（-2，0）的直線交雙曲線T于點A（點A不為雙曲線頂點），若AB中點Q在直線y=x上，點P為雙曲線T上異于A，B的任意一點且不為雙曲線的頂點，直線AP，BP分別交直線y=x于M，N兩點，則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的值為（　�。�

• A． -$\frac{8}{3}$
• B． -$\frac{3}{2}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -8

Answer 1

分析 求出A的坐標，設點P（x₀，y₀）為曲線上任一點，得到直線AP的方程，直線BP的方程，可得M，N的坐標，由此即可得出結論．

解答 解：∵AB中點Q在直線y=x上，B（-2，0），
∴A（$\frac{10}{3}$，$\frac{4}{3}$）
設點P（x₀，y₀）為曲線上任一點，
則直線AP的方程是y-$\frac{4}{3}$=$\frac{{y}_{0}-\frac{4}{3}}{{x}_{0}-\frac{10}{3}}$（x-$\frac{10}{3}$），
與直線y=x聯(lián)立得x_M=y_M=$\frac{10{y}_{0}-4{x}_{0}}{3{y}_{0}-3{x}_{0}+6}$，
同理得：直線BP的方程是y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2），
與直線y=x聯(lián)立得x_N=y_N=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}+2}$，
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$-y₀²=1，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x_Mx_N+y_My_N=2×$\frac{10{y}_{0}-4{x}_{0}}{3{y}_{0}-3{x}_{0}+6}$×$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}+2}$=-$\frac{8}{3}$．
故選A．

點評 本題考查直線方程的求法，考查向量的數量積，解題時要認真審題，注意中點坐標公式的合理運用．