Question

15．如圖，設(shè)ABCD和ABEF均為平行四邊形，他們不在同一平面內(nèi)，M，N分別為對(duì)角線AC，BF上的點(diǎn)，且AM：AC=FN：BF．
求證：MN∥平面BEC．

Answer 1

分析 過M作MQ∥BA交CB于點(diǎn)Q，過N作NP∥FE交BE于點(diǎn)P，連接QP，證明四邊形MQPN為平行四邊形，進(jìn)而證明出MN∥QP，最后利用線面平行的判定定理證明出結(jié)論．

解答 證明：如圖示過M作MQ∥BA交CB于點(diǎn)Q，過N作NP∥FE交BE于點(diǎn)P，連接QP，
在△CAB中，∵M(jìn)Q∥AB，∴$\frac{CM}{AC}=\frac{MQ}{AB}$，
在△BFE中，同理可得，$\frac{BN}{BF}=\frac{NP}{FE}$，
∵四邊形ABFE為平行四邊形，∴$AB\underline{\underline{∥}}FE$，
又$\frac{AM}{AC}=\frac{FN}{BF}$，∴$\frac{AC-CM}{AC}=\frac{BF-BN}{BF}$，∴$\frac{CM}{AC}=\frac{BN}{BF}$，∴$\frac{MQ}{AB}=\frac{NP}{FE}$，
∴MQ=NP，
∵$MQ∥AB，NP∥FE，AB\underline{\underline{∥}}FE$，∴MQ∥NP，∴$MQ\underline{\underline{∥}}NP$，
∴四邊形MQPN為平行四邊形，
∴MN∥QP
又∵M(jìn)N?面BEC，QP?面BEC，∴MN∥面BEC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面平行的判定定理的運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是證明出MN∥QP，屬于中檔題．