Question

10．已知定點A（1，1）、動點P在圓x²+y²=1上，點P關(guān)于直線y=x的對稱點為P′，向量$\overrightarrow{AQ}$=$\overrightarrow{OP′}$，O是坐標(biāo)原點，則|$\overrightarrow{PQ}$|的取值范圍是[$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$]．

Answer 1

分析 用坐標(biāo)表示出|$\overrightarrow{PQ}$|，利用直線與圓的位置關(guān)系，即可求出|$\overrightarrow{PQ}$|的取值范圍．

解答 解：設(shè)P（x，y），則P′（y，x），∵$\overrightarrow{AQ}$=$\overrightarrow{OP′}$，∴Q（y+1，x+1），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（y-x+1，x-y+1），
∴|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{2（x-y）^{2}+2}$，
設(shè)t=x-y，則∵x²+y²=1，∴$\frac{|t|}{\sqrt{2}}$≤1，∴|t|$≤\sqrt{2}$，
∴|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{2（x-y）^{2}+2}$∈[$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$]．
故答案為[$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$]．

點評 本題考查向量知識的運用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．