Question

2．已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），若稱使乘積a₁×a₂×a₃×…×a_n為整數(shù)的數(shù)n為劣數(shù)，則在區(qū)間（1，2002）內(nèi)所有的劣數(shù)的和為（　　）

• A． 2026
• B． 2046
• C． 1024
• D． 1022

Answer 1

分析 由題意，及對數(shù)的換底公式知，a₁•a₂•a₃…a_n=log₂（n+2），由此知，劣數(shù)+2必為2的整數(shù)次冪，由此易得出劣數(shù)表達(dá)式，此區(qū)間（1，2010）內(nèi)所有劣數(shù)的和是一個數(shù)列求和問題，由此計(jì)算出值選出正確答案．

解答 解：由題意a_n=log_（n+1）（n+2），（n∈N^*），若稱使乘積a₁•a₂•a₃…a_n為整數(shù)的數(shù)n為劣數(shù)且a₁•a₂•a₃…a_n=log₂（n+2）
故劣數(shù)n=2^k-2，故最小的劣數(shù)為2=2²-2，令n=2^k-2＜2010，
由于2¹⁰-2=1022，2¹¹-2=2046
故最大的劣數(shù)為2¹⁰-2，
∴（1，2010）內(nèi)所有劣數(shù)的和為2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{9}）}{1-2}$-18=2¹¹-22=2026．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的求和，正確理解劣數(shù)定義，找出區(qū)間（1，2010）內(nèi)所有劣數(shù)，以及熟練掌握數(shù)列求和的技巧分組求和是求解本題的關(guān)鍵，本題中難點(diǎn)是理解劣數(shù)的定義，由此定義得出劣數(shù)的結(jié)構(gòu)，將求和的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和的問題．