Question

7．（1）已知$f（\frac{2}{x}+1）$=lgx，求f（x）；
（2）定義在（-1，1）內(nèi)的函數(shù)f（x）滿足2f（x）-f（-x）=lg（x+1），求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）考慮換元，令$\frac{2}{x}+1=t$，從而可解出x，帶入原函數(shù)解析式便可得出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)條件，將2f（x）-f（-x）=lg（x+1）中的x換上-x，便可又得到一個關(guān)于f（x）和f（-x）的等式，聯(lián)立這兩個等式即可解出f（x），即得出函數(shù)f（x）的解析式．

解答 解：（1）令t=$\frac{2}{x}$+1，則x=$\frac{2}{t-1}$；
∴f（t）=lg $\frac{2}{t-1}$；
即f（x）=lg $\frac{2}{x-1}$；
（2）x∈（-1，1）時，有2f（x）-f（-x）=lg（x+1）①；
∴以-x代x得，2f（-x）-f（x）=lg（-x+1）②；
由①②消去f（-x）得，f（x）=$\frac{2}{3}$lg（x+1）+$\frac{1}{3}$lg（1-x），x∈（-1，1）．

點評 本題考查函數(shù)解析式的定義及求法，換元法求函數(shù)解析式，以及構(gòu)造關(guān)于f（x），f（-x）的方程組，從而解出f（x）的方法．