Question

17．設(shè)f（x）是一次函數(shù)，f（1）=1，且f（2），f（3）+1，f（5）成等差數(shù)列，若a_n=f（n），n∈N^*．
（1）求證：{a_n}是等差數(shù)列；
（2）在{a_n}每相鄰的兩項之間插入2個數(shù)，構(gòu)成一個新的等差數(shù)列{b_n}，求數(shù)列{b_n}的前n項和B_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=ax+b，由于f（2），f（3）+1，f（5）成等差數(shù)列，可得2[f（3）+1]=f（2）+f（5），又f（1）=1，聯(lián)立解得a，b，再利用等差數(shù)列的定義即可證明．
（2）在{a_n}每相鄰的兩項之間插入2個數(shù)，構(gòu)成一個新的等差數(shù)列{b_n}，設(shè)公差為d．則在a₁，a₂，即1，3之間插入數(shù)2個數(shù)，構(gòu)成一個新的等差數(shù)列{b_n}的前4項，求出公差d即可得出．

解答 （1）證明：設(shè)f（x）=ax+b，
∵f（2），f（3）+1，f（5）成等差數(shù)列，∴2[f（3）+1]=f（2）+f（5），∴2（3a+b+1）=2a+b+5a+b，化為：a=2．
又f（1）=1，∴a+b=1，∴b=-1．
∴f（x）=2x-1．
∴a_n=f（n）=2n-1，
∴a_n+1-a_n=2（n+1）-1-（2n-1）=2，a₁=1．
∴{a_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為2．
（2）在{a_n}每相鄰的兩項之間插入2個數(shù)，構(gòu)成一個新的等差數(shù)列{b_n}，設(shè)公差為d．
則在a₁，a₂，即1，3之間插入數(shù)2個數(shù)，構(gòu)成一個新的等差數(shù)列{b_n}的前4項，
則b₁=1，b₄=3，∴3=1+3d，解得d=$\frac{2}{3}$，
∴b_n=1+$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{2}{3}$n+$\frac{1}{3}$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和B_n=$\frac{n（1+\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}）}{2}$=$\frac{1}{3}{n}^{2}$+$\frac{2}{3}$n．

點評 本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項公式前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．