Question

16．已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，不等式2f（x）+2x•f′（x）＜0成立，若a=3^0.2f（3^0.2），b=（log_π2）f（log_π2），c=（log₂$\frac{1}{4}$）f（log₂$\frac{1}{4}$），則a，b，c之間的大小關(guān)系為（　　）

• A． a＞c＞b
• B． c＞a＞b
• C． b＞a＞c
• D． c＞b＞a

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），由于當(dāng)x＞0時，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)x＞0時，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可得函數(shù)g（x）在R上是奇函數(shù)．進(jìn)而得到g（x）在R上是減函數(shù)．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），
則g′（x）=f（x）+xf′（x），
當(dāng)x＞0時，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，
∴當(dāng)x＞0時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴g（-x）=-xf（-x）=-xf（x）=-g（x），
∴g（x）在R上是奇函數(shù)．
∴g（x）在R上是減函數(shù)．
∵a=3^0.2•f（3^0.2），b=（log_π2）•f（log_π2），c=（log₂$\frac{1}{4}$）f（log₂$\frac{1}{4}$），log₂$\frac{1}{4}$=-2．
-2＜logπ2＜30.2，
∴c＞b＞a，
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)的運算性質(zhì)及其單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力．