Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=ax+lnx，x∈（1，e），若f（x）有極值，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋╝，-1+ln（-$\frac{1}{a}$）]．

Answer 1

分析 由f（x）=ax+lnx求導(dǎo)，再由f（x）有極值知f′（x）=0解，且在兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)相異求解．f（x）的極大值為f（-$\frac{1}{a}$）=-1+ln（-$\frac{1}{a}$），再求得端點(diǎn)值f（1）=a，f（e）=ae+1，比較后取最小值和最大值，從而求得值域．

解答 解：（1）由f（x）=ax+lnx求導(dǎo)可得：f′（x）=a+$\frac{1}{x}$．
令f′（x）=a+$\frac{1}{x}$=0，可得a=-$\frac{1}{x}$
∵x∈（1，e），∴-$\frac{1}{x}$∈（-1，-$\frac{1}{e}$）∴a∈（-1，-$\frac{1}{e}$）
又因?yàn)閤∈（1，e），列表如下：

x	$（1，-\frac{1}{a}）$	$-\frac{1}{a}$	$（-\frac{1}{a}，e）$
f′（x）	+	0	-
f（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

所以，f（x）有極值所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1，-$\frac{1}{e}$）．
可知f（x）的極大值為f（-$\frac{1}{a}$）=-1+ln（-$\frac{1}{a}$），
又∵f（1）=a，f（e）=ae+1，
由a≥ae+1，解得a≤$\frac{1}{1-e}$，又∵-1＜$\frac{1}{1-e}$＜-$\frac{1}{e}$，
∴當(dāng)-1＜a≤$\frac{1}{1-e}$時(shí)，
函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋╝e+1，-1+ln（-$\frac{1}{a}$）]．
當(dāng)$\frac{1}{1-e}$＜a＜-$\frac{1}{e}$時(shí)，
函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋╝，-1+ln（-$\frac{1}{a}$）]．
故答案為：（a，-1+ln（-$\frac{1}{a}$）]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值等問題，以及集合思想的應(yīng)用．