Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和圓O：x²+y²=b²，若C上存在點M，過點M引圓O的兩條切線，切點分別為E，F(xiàn)，使得△MEF為正三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{2}$，1）
• B． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• C． [$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）
• D． （1，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 如圖所示，連接OE，OF，OM，由于△MEF為正三角形，可得∠OME=30°，OM=2b≤a，再利用離心率計算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，連接OE，OF，OM，
∵△MEF為正三角形，
∴∠OME=30°，
∴OM=2b，
則2b≤a，
∴$\frac{a}≤\frac{1}{2}$，
∴橢圓C的離心率e=$\sqrt{1-（\frac{a}）^{2}}$$≥\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又e＜1．
∴橢圓C的離心率的取值范圍是$[\frac{\sqrt{3}}{2}，1）$．
故選：C．

點評 本題考查了橢圓與圓的標準方程及其性質、直角三角形的邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．