Question

已知長方體A₁B₁C₁D₁-ABCD的高為

2

，兩個底面均為邊長1的正方形．
（1）求證：BD∥平面A₁B₁C₁D₁；
（2）求異面直線A₁C與AD所成角的大小；
（3）求二面角A₁-BD-A的平面角的正弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）直接利用線面平行的判定定理證得結(jié)果．
（2）通過平行線把異面直線轉(zhuǎn)化為共面直線，利用解三角形求得結(jié)果．
（3）先求出二面角的平面角進一步解三角形求得結(jié)果．

解答： （1）證明：在長方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，BD∥B₁D₁
B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，BD?平面A₁B₁C₁D₁
所以：BD∥平面A₁B₁C₁D₁；
（2）解：連接CD₁，
由于：AD∥A₁D₁，
所以：異面直線A₁C與AD所成角即為直線A₁C與A₁D₁所成的角．
又因為長方體A₁B₁C₁D₁-ABCD的高為

2

，兩個底面均為邊長1的正方形，
則：解得：CD1=

3

，
所以：tan∠A1CD1=

A1D1

CD1

=

3

3

，
所以：∠A1CD1=

π

6

；
（3）連接AC，BD交于O，由于四邊形ABCD是正方形．
所以：AC⊥BD，
又AA₁⊥BD，
所以：BD⊥平面A₁AC，
所以：∠AOA₁是面角A₁-BD-A的平面角，
tan∠AOA1=

AA1

AO

=

2

2 2

=2，
sin∠AOA1=

2 5

5

，
所以：二面角A₁-BD-A的平面角的正弦值為

2 5

5

．

點評：本題考查的知識要點：線面平行的判定定理，異面直線的夾角，二面角的應用．屬于基礎(chǔ)題型．