Question

12．已知不等式$\frac{k{x}^{2}+kx+6}{{x}^{2}+x+2}$＞2對任意x∈R恒成立，則k的取值范圍為[2，10）．

Answer 1

分析 將不等式$\frac{k{x}^{2}+kx+6}{{x}^{2}+x+2}$＞2轉(zhuǎn)化為（k-2）x²+（k-2）x+2＞0．分k=2和k≠2兩種情況討論，對于后者利用一元二次不等式的性質(zhì)可知$\left\{\begin{array}{l}{k-2＞0}\\{△{=（k-2）}^{2}-8（k-2）＜0}\end{array}\right.$，解不等式組即可確定k的取值范圍．

解答 解：∵x²+x+2＞0，
∴不等式$\frac{k{x}^{2}+kx+6}{{x}^{2}+x+2}$＞2可轉(zhuǎn)化為：
kx²+kx+6＞2（x²+x+2）．
即（k-2）x²+（k-2）x+2＞0．
當k=2時，不等式恒成立．
當k≠2時，不等式（k-2）x²+（k-2）x+2＞0恒成立，
等價于$\left\{\begin{array}{l}{k-2＞0}\\{△{=（k-2）}^{2}-8（k-2）＜0}\end{array}\right.$，
解得2＜k＜10，
∴實數(shù)k的取值范圍是[2，10），
故答案為：[2，10）．

點評 本題考查分情況討論的數(shù)學(xué)思想以及一元二次不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．