Question

【題目】已知f（x）＝1nx2x+1，其中a≠0．

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求f（x）的極值；

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，證明：f（x）．

Answer 1

【答案】（1）f（x）的極大值為﹣2，無極小值（2）證明見解析

【解析】

（1）對f（x）求導(dǎo)，求出函數(shù)單調(diào)性，求出極值；

（2）證明f（x）即證明f（x）max，利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的最大值即可．

解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝lnx2x+1，

所以f（x），（x＞0）

令f'（x）＞0得f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，

令f'（x）＜0得f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）取得極大值f（1）＝﹣2，無極小值；

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）（x＞0），

令g（x）＝﹣2x2+x+a，則g（0）＝a＞0，又g（x）開口向下，且對稱軸為x，

所以存在x0使得g（x0）＝0，即a＝2x0，

所以當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，（x0，+∞）是單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x＝x0時(shí)，f（x）取得最大值f（x0），

f（x0）＝lnx02x0+1＝lnx02x0+1＝lnx0﹣4x0+2，

令h（x0）＝f（x0），

所以當(dāng)x0時(shí)，h'（x0）0，

所以在h（x0）（上單調(diào)遞減，

所以h（x0）＜h（）＝lnln，

所以原不等式成立．