Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1﹣x）+log_a（x+3），其中0＜a＜1，記函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈．

（1）求函數(shù)f（x）的定義域D；

（2）若函數(shù)f（x）的最小值為﹣4，求a的值；

（3）若對(duì)于D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，不等式﹣x²+2mx﹣m²+2m＜1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）要使函數(shù)有意義：則有，解得﹣3＜x＜1∴函數(shù)的定義域D為（﹣3，1）…（2分）

（2）f（x）=log_a（1﹣x）+log_a（x+3）=log_a（1﹣x）•（x+3）=log_a[﹣（x+1）²+4]，∵x∈（﹣3，1）∴0＜﹣（x+1）²+4≤4

∵0＜a＜1∴l(xiāng)og_a[﹣（x+1）²+4]≥log_a4，f（x）的最小值為log_a4，∴l(xiāng)og_a4=﹣4，即a=

（3）由題知﹣x²+2mx﹣m²+2m＜1在x∈（﹣3，1）上恒成立，⇔x²﹣2mx+m²﹣2m+1＞0在x∈（﹣3，1）上恒成立，…（8分）

令g（x）=x²﹣2mx+m²﹣2m+1，x∈（﹣3，1），配方得g（x）=（x﹣m）²﹣2m+1，其對(duì)稱(chēng)軸為x=m，

①當(dāng)m≤﹣3時(shí)，g（x）在（﹣3，1）為增函數(shù)，∴g（﹣3）=（﹣3﹣m）²﹣2m+1=m²+4m+10≥0，

而m²+4m+10≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)m恒成立，∴m≤﹣3．       …（10分）

②當(dāng)﹣3＜m＜1時(shí)，函數(shù)g（x）在（﹣3，﹣1）為減函數(shù)，在（﹣1，1）為增函數(shù)，

∴g（m）=﹣2m+1＞0，解得m＜．∴﹣3＜m＜…（12分）

③當(dāng)m≥1時(shí)，函數(shù)g（x）在（﹣3，1）為減函數(shù)，∴g（1）=（1﹣m）²﹣2m+1=m²﹣4m+2≥0，

解得m≥或m≤，∴﹣3＜m＜…（14分）

綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是 （﹣∞，）∪[，+∞）    …（15分）