Question

對(duì)于給定的數(shù)列{c_n}，如果存在實(shí)常數(shù)p、q，使得c_n+1=pc_n+q對(duì)于任意n∈N^*都成立，我們稱數(shù)列{c_n}是“優(yōu)美數(shù)列”．
（1）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，數(shù)列{a_n}、{b_n}是否為“優(yōu)美數(shù)列”？若是，指出它對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)p、q，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*）．若數(shù)列{a_n}是“優(yōu)美數(shù)列”，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用“優(yōu)美數(shù)列”的概念結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)求解．
（2）由已知條件推導(dǎo)出（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q對(duì)于任意n∈N^*都成立，從而得到3•2ⁿ（2-p）=2q對(duì)于任意n∈N^*都成立，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：（1）∵a_n=2n，則有a_n+1=a_n+2，n∈N^*．
∴數(shù)列{a_n}是“優(yōu)美數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的p、q值分別為1、2；…（3分）
∵b_n=3•2ⁿ，則有b_n+1=2b_n，n∈N^*．
∴數(shù)列{b_n}是“優(yōu)美數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的p、q值分別為2、0．…（6分）
（2）∵數(shù)列{a_n}是“優(yōu)美數(shù)列”，∴存在實(shí)常數(shù)p、q，
使得a_n+1=pa_n+q對(duì)于任意n∈N^*都成立，
且有a_n+2=pa_n+1+q對(duì)于任意n∈N^*都成立，…（8分）
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q對(duì)于任意n∈N^*都成立，…（10分）
而a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），且a_n+1+a_n+2=3•2ⁿ⁺¹（n∈N^*），
則有3•2ⁿ⁺¹=3•2ⁿp+2q對(duì)于任意n∈N^*都成立，…（12分）
即3•2ⁿ（2-p）=2q對(duì)于任意n∈N^*都成立，
∴p-2=0，即p=2，q=0．…（14分）
此時(shí)，a_n+1=2a_n，又∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ（n∈N^*）．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查“優(yōu)美數(shù)列”的判斷，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．