Question

16．觀察下列等式
若銳角θ滿足sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$，則sinθcosθ=$\frac{1}{2}$
若銳角θ滿足sin³θ+cos³θ=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則sinθcosθ=$\frac{1}{2}$
若銳角θ滿足sin⁵θ+cos⁵θ=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，則sinθcosθ=$\frac{1}{2}$
請你仔細觀察上述幾個等式的規(guī)律，寫出一個一般性的命題：若銳角θ滿足${sin^{2n+1}}θ+{cos^{2n+1}}θ=2{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^{2n+1}}（n∈N）$，則$sinθcosθ=\frac{1}{2}$或
若銳角θ滿足${sin^{2n+1}}θ+{cos^{2n+1}}θ=\frac{{\sqrt{2}}}{2^n}（n∈N）$，則$sinθcosθ=\frac{1}{2}$．．

Answer 1

分析 利用已知條件，找出概率寫出結果即可．

解答 解：由：若銳角θ滿足sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$，則sinθcosθ=$\frac{1}{2}$
若銳角θ滿足sin³θ+cos³θ=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則sinθcosθ=$\frac{1}{2}$
若銳角θ滿足sin⁵θ+cos⁵θ=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，則sinθcosθ=$\frac{1}{2}$
可以看出，等式左側是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的奇數(shù)次冪的和，右側是$\sqrt{2}$依次減半，推出結果是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)乘積的結果為$\frac{1}{2}$．
可得一般性結論為：
若銳角θ滿足${sin^{2n+1}}θ+{cos^{2n+1}}θ=2{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^{2n+1}}（n∈N）$，則$sinθcosθ=\frac{1}{2}$或
若銳角θ滿足${sin^{2n+1}}θ+{cos^{2n+1}}θ=\frac{{\sqrt{2}}}{2^n}（n∈N）$，則$sinθcosθ=\frac{1}{2}$．
故答案為：若銳角θ滿足${sin^{2n+1}}θ+{cos^{2n+1}}θ=2{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^{2n+1}}（n∈N）$，則$sinθcosθ=\frac{1}{2}$或
若銳角θ滿足${sin^{2n+1}}θ+{cos^{2n+1}}θ=\frac{{\sqrt{2}}}{2^n}（n∈N）$，則$sinθcosθ=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查歸納推理的應用，找出規(guī)律是解題 關鍵，考查觀察能力．