Question

15．求與橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1有共同焦點，過點（3$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）的雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析 由橢圓的標準方程可知，橢圓的焦點在x軸上，設雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），代入點的坐標，即可求得結論

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的標準方程可知，橢圓的焦點在x軸上，
設雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）-----------------------（2分）
根據(jù)題意$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}+^{2}=25-5\\ \frac{18}{{a}^{2}}-\frac{2}{^{2}}=1\end{array}\right.$，--------------------（6分）
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}=20-2\sqrt{10}\\^{2}=2\sqrt{10}\end{array}\right.$-----------------------（10分）
∴雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{20-2\sqrt{10}}-\frac{{y}^{2}}{2\sqrt{10}}=1$

點評 本題考查橢圓的性質，考查雙曲線的標準方程，考查學生的計算能力，正確運用待定系數(shù)法是關鍵．