Question

5．設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的定義域分別為D_f，D_g，且D_f?D_g，若對于任意x∈D_f，都有g(shù)（x）=f（x），則稱函數(shù)g（x）為f（x）在D_g上的一個延拓函數(shù)．設(shè)f（x）=2^x，x∈（-∞，0），g（x）為f（x）在R上的一個延拓函數(shù)．
（1）若g（x）是奇函數(shù)，則g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）若g（x）滿足：①當x≥0，g（x）=$\frac{ax+b}{x+1}$；
②值域為（0，2）；
③對于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{x}-{x}_{2}}$＞0，
則實數(shù)a，b的取值分別為2，1．

Answer 1

分析 （1）分段求出函數(shù)g（x）的表達式，再綜合得g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）根據(jù)題設(shè)可得，g（x）=$\frac{ax+b}{x+1}$的取值能包含[1，2），且g（0）=1，當x→+∞時，g（x）=$\frac{a+\frac{x}}{1+\frac{1}{x}}$→a=2．

解答 解：（1）因為g（x）為f（x）的延拓函數(shù)，且g（x）為奇函數(shù)，所以，
①當x＜0時，g（x）=f（x）=2^x，②當x=0時，g（x）=0，③當x＞0時，g（x）=-f（-x）=-2^-x，
綜合以上討論得，所以，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）當x＜0時，g（x）=f（x）=2^x∈（0，1），且x→0時，g（x）→1，
由于g（x）的值域為（0，2），
所以，當x≥0時，g（x）=$\frac{ax+b}{x+1}$的取值能包含[1，2），
又∵對于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{x}-{x}_{2}}$＞0，
∴g（x）在R上單調(diào)遞增，所以，g（0）=1，解得b=1，
當x→+∞時，g（x）=$\frac{a+\frac{x}}{1+\frac{1}{x}}$→a，故a=2，
因此，當x≥0時，g（x）=$\frac{ax+b}{x+1}$=$\frac{2x+1}{x+1}$．
故答案為：（1）g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$；（2）a=2，b=1．

點評 本題主要考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，涉及函數(shù)的奇偶性，解析式，單調(diào)性，值域，以及分段函數(shù)的表示，屬于中檔題．