Question

【題目】已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l：與拋物線(xiàn)E：（）交于B，C兩點(diǎn)，且A為線(xiàn)段的中點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)E的方程；

（2）已知直線(xiàn)：與直線(xiàn)l平行，過(guò)直線(xiàn)上任意一點(diǎn)P作拋物線(xiàn)E的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M，N，是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使得直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)A？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在實(shí)數(shù)使得命題成立

【解析】

(1)直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理即可求得,得出拋物線(xiàn)方程;

(2)設(shè)M，N點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線(xiàn)上任意一點(diǎn),由,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得點(diǎn)M處的切線(xiàn)方程和點(diǎn)N處的切線(xiàn)方程,由都滿(mǎn)足上述兩個(gè)方程,即有可得直線(xiàn)的方程即為:,點(diǎn)代入即可得出存在實(shí)數(shù)使得命題成立.

（1）由，，，

依題意，.

故拋物線(xiàn)E的方程為：.

（2）設(shè)M，N點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，

由，可得點(diǎn)M處的切線(xiàn)的方程為：，

點(diǎn)N處的切線(xiàn)的方程為：

∵都滿(mǎn)足上述兩個(gè)方程，∴

∴直線(xiàn)的方程為：，

∵直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，∴，得，

故存在實(shí)數(shù)使得命題成立.