Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx-4，若x=-

1

3

與x=-1是f（x）的極值點(diǎn)．
（1）求a、b及函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)g（x）=kx²+x-8（k∈R），試討論函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間[0，+∞）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用x=-

1

3

與x=-1是f（x）的極值點(diǎn)，可得-

1

3

與-1是方程f′（x）=0的兩根，即可求出a、b及函數(shù)f（x）的極值；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-k）x²+4=0，可得k=x+

4

x2

+2，確定函數(shù)的最小值，即可討論函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間[0，+∞）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）由題得f′（x）=3x²+2ax+b，
∵x=-

1

3

與x=-1是f（x）的極值點(diǎn)，
∴-

1

3

與-1是方程f′（x）=0的兩根，
∴a=2，b=1，
∴f（x）=x³+2x²+x-4，f′（x）=3x²+4x+1
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）、f（x）的變化情況如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1， 1 3 ）	- 1 3	（- 1 3 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大值		極小值

∴當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極大值為-4；當(dāng)x=-

1

3

時(shí)，f（x）取得極小值為-

112

27

；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-k）x²+4=0，可得k=x+

4

x2

+2，
令h（x）=x+

4

x2

+2，則h′（x）=

(x-2)(x2+2x+4)

x3

∴x＜2時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，x＞2時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（2）=5，
∴k＜5時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，k=5時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；k＞5時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，屬于中檔題．