Question

如圖所示，甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行，速度為15 n mile/h，在甲船從A島出發(fā)的同時(shí)，乙船從A島正南40 n mile處的B島出發(fā)，朝北偏東θ的方向作勻速直線航行，速度為m n mile/h.

(1)若兩船能相遇，求m.

(2)當(dāng)m＝10時(shí)，求兩船出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間距離最近，最近距離為多少n mile?

Answer 1

解析 (1)設(shè)t小時(shí)后，兩船在M處相遇，

由tanθ＝，得sinθ＝，cosθ＝，

所以sin∠AMB＝sin(45°－θ)＝.

由正弦定理，＝，∴AM＝40，

同理得BM＝40.

∴t＝＝，m＝＝15.

(2)以A為原點(diǎn)，BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)在t時(shí)刻甲、乙兩船分別在P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)處，則|AP|＝15t，|BQ|＝10t.

由任意角三角函數(shù)的定義，可得

即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(15t,15t)，

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(10t,20t－40)，

∴|PQ|＝＝

＝≥20，

當(dāng)且僅當(dāng)t＝4時(shí)，|PQ|取得最小值20，即兩船出發(fā)4小時(shí)時(shí)，距離最近，最近距離為20 n mile.