Question

13．已知命題P：函數(shù)f（x）=x²+ax+3-a，若x∈[-2，2]時(shí)，則f（x）≥2恒成立．
（1）當(dāng)命題P為真命題時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值集合M；
（2）當(dāng)集合E={a|a∈M}∩Z（Z為整數(shù)集）時(shí)，求集合E的子集的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f（x）≥2恒成立，即x²+ax+1-a≥0在[-2，2]上恒成立，分兩種情況：若根的判別式小于等于0時(shí)滿足題意；根的判別式大于0時(shí)，可得f（2）與f（-2）都大于等于0，且對稱軸大于等于2或小于等于-2，求出a的范圍即可確定出M；
（2）求出M與整數(shù)集的交集確定出E，求出E子集個(gè)數(shù)即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+ax+3-a，當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f（x）≥2恒成立，
∴x²+ax+1-a≥0在[-2，2]上恒成立，
∵△=a²-4（1-a）≤0，
∴-2-2$\sqrt{2}$≤a≤-2+2$\sqrt{2}$，
或$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4（1-a）＞0}\\{f（2）≥0}\\{f（-2）≥0}\\{-\frac{a}{2}≥2或-\frac{a}{2}≤-2}\end{array}\right.$，
解得：-5≤a＜-2$\sqrt{2}$-2，
則M={a|-5≤a≤2$\sqrt{2}$-2}；
（2）由（1）得：M={a|-5≤a≤2$\sqrt{2}$-2}，
∴E={a|a∈M}∩Z（Z為整數(shù)集）={-5，-4，-3，-2，-1，0}，
則集合E的子集個(gè)數(shù)為2⁶=64．

點(diǎn)評 此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．