Question

8．若方程lg（-x²+3x-m）=lg（3-x）在x∈（0，3）內有唯一解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 若方程-x²+3x-m=3-x在x∈（0，3）內有唯一解，則表示方程-x²+3x-m=3-x有兩個相等的實根在（0，3）內，即△=0，或方程-x²+3x-m=3-x有兩個不等的實根，其中一個在（0，3）內，即對應函數在（0，3）上存在一個零點，根據零點存在定理，構造關于m的不等式，解不等式可得答案．

解答 解：由題意，方程-x²+3x-m=3-x在x∈（0，3）內有唯一解，
令f（x）=-x²+4x-m-3，
若方程-x²+3x-m=3-x在x∈（0，3）內有唯一解，
則f（0）•f（3）＜0，或△=16-4（m+3）=0，或m=1，
即（-m-3）（-m）＜0，或m=0，或m=1．
解得：-3＜m≤0或m=1．
經檢驗，m=1不合題意，
∴-3＜m≤0．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，解答時易忽略方程-x²+3x-m=3-x有兩個相等的實根在（0，3）內，即△=0的情況．