Question

19．如圖，在△ABC中，BC邊上的中線AD長為3，且sinB=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，cos∠ADC=-$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求sin∠BAD的值；
（Ⅱ）求AC邊的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)sinB=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，cos∠ADC=-$\frac{1}{4}$，利用平方關(guān)系，可得sinB、sin∠ADC的值，利用sin∠BAD=sin（∠ADC-∠B），即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，求BD=$\frac{15}{2}$，故BC=15，在△ADC中，由余弦定理，可求AC的長．

解答 解：（Ⅰ）由題意，因為sinB=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，所以cosB=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$…（2分）
又cos∠ADC=-$\frac{1}{4}$，所以sin∠ADC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$…（4分）
所以sin∠BAD=sin（∠ADC-∠B）=$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{3\sqrt{6}}{8}$-（-$\frac{1}{4}$）×$\frac{\sqrt{10}}{8}$=$\frac{5\sqrt{10}}{16}$…（7分）
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，得$\frac{3}{\frac{\sqrt{10}}{8}}=\frac{BD}{\frac{5\sqrt{10}}{16}}$，解得BD=$\frac{15}{2}$…（10分）
故BC=15，CD=$\frac{15}{2}$
從而在△ADC中，由余弦定理，得AC²=9+225-2×3×$\frac{15}{2}$×（-$\frac{1}{4}$）=$\frac{302}{4}$，所以AC=$\frac{\sqrt{302}}{2}$…（14分）

點評 本題考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的運用，屬于中檔題．