Question

已知函數(shù)f（x）=|x+2|-|2x-2|
（1）解不等式f（x）≥-2；
（2）設g（x）=x-a，對任意x∈[a，+∞）都有 g（x）≥f（x），求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）分類討論，去掉絕對值，分別求得不等式f（x）≥-2的解集，再取并集，即得所求．
（2）作出f（x）的圖象，數(shù)形結合求得滿足x∈[a，+∞）時g（x）≥f（x）的a的取值范圍．

解答： 解：（1）對于f（x）≥-2，當x≤-2時，不等式即x-4≥-2，即x≥2，∴x∈∅；
當-2＜x＜1時，不等式即3x≥-2，即x≥-

2

3

，∴-

2

3

≤x＜1；
當x≥1時，不等式即-x+4≥-2，即x≤6，∴1≤x≤6．
綜上，不等式的解集為{x|-

2

3

≤x≤6}．
（2）f（x）=|x+2|-|2x-2|=

x-4，x≤-2 3x，-2＜x＜1 -x+4，x≥1

，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：
∵g（x）=x-a，表示一條斜率為1且在y軸上的截距等于-a的直線，當直線過（1，3）點時，-a=2．
①當-a≥2，即a≤-2時，恒有g（x）≥f（x）成立．
②當-a＜2，即a＞-2時，令f（x）=g（x），即-x+4=x-a，求得x=2+

a

2

，
根據(jù)對任意x∈[a，+∞）都有 g（x）≥f（x），∴a≥2+

a

2

，即a≥4．
綜上可得，a≤-2 或a≥4．

點評：本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于基礎題．